Страница 12

т.е. значение Q в центре шара превышает среднее значение Q внутри шара на величину, зависящую от радиуса и от ∇²Q. Поэтому раз ∇²Q означает избыток значения Q в центре над его средней величиной внутри шара, то я назову его концентрацией Q.

Если Q — величина скалярная, то и концентрация её — скаляр. Так, если Q — электрический потенциал, то ∇²Q есть плотность вещества, создающего потенциал.

Если Q — векторная величина, то Q0 и Q — векторы и ∇²Q — также вектор, выражающий собой избыток равномерно распределённой силы Q0 приложенной ко всему веществу шара, над результирующей действительной силы Q, действующей на все части шара.

Рассмотрим затем гамильтоновский оператор ∇. Применим его сначала к скалярной функции P. Величина ∇P есть вектор, указывающий направление, в котором P наиболее быстро уменьшается, и измеряющий степень этого уменьшения. Я решаюсь, с большой осторожностью, называть это падением (slope) P. Ламе называет величину выражения ΔP «первым дифференциальным параметром» P, но направлением вектора ΔP он не интересуется. Нам нужен термин, имеющий векторный характер и который, одновременно указывая направление и величину, в то же время не употреблялся бы ещё в другом математическом смысле. Я взял на себя смелость, распространить обычный смысл слова падение (slope), взятого из топографии, где по отношению к трёхмерному пространству употребляются лишь две независимые переменные.

Если σ изображает векторную функцию, то Δσ а может одновременно заключать скалярную и векторную части, которые могут быть написаны как S∇σ и V∇σ.

Я предлагаю назвать скалярную часть конвергенцией4 σ потому, что если описать вокруг любой точки замкнутую поверхность, то поверхностный интеграл σ, выражающий действие вектора σ, рассматриваемого как втекание потока через поверхность, равен объёмному интегралу S∇σ заключённому в этой замкнутой поверхности пространству. Поэтому я считаю, что конвергенция векторной функции является очень подходящим названием для действия этой векторной функции, заключающегося в продвижении представляемого им объекта внутрь, к одной точке.

Но ∇σ а имеет обычно ещё и векторную часть, и я, с величайшей осторожностью, предлагаю назвать этот вектор кэрлом (curl) или версией (version) первоначальной векторной функции.

Он изображает направление и величину вращения вещества, представляемого вектором σ. Я искал термин, который не подразумевал бы движения, как слова «вращение», «вихрь», «кружение», или же указывал бы, как слово «скручивание», на спиральное или винтообразное строение, которое совершенно несвойственно природе вектора.

Если мы вычтем из общей величины векторной функции σ её значение σ0 в точке P то оставшийся вектор σ-σ0 будет направлен, в случае чистой конвергенции, к P; в случае чистого кэрла — по касательной вокруг P, а в том случае, когда имеется и конвергенция и кэрл, он будет направлен по спирали.

Справедливы следующие утверждения:

Падение скалярной функции не имеет кэрла.

Кэрл векторной функции не имеет конвергенции.

Конвергенция падения скалярной функции есть её концентрация.