Страница 83

Рассмотрим изменение из нейтрального состояния, в котором ящик и жидкость удлинены в одном направлении x и сокращены вдоль y и z для того, чтобы сохранить объём, причём концы трубок, как предполагается, следуют движению стенок. Стенки, перпендикулярные x, содержат больше концов трубок на единицу площади, чем в нейтральном состоянии; а так как давление близ сердечников низко, то среднее давление на эти стенки менее, чем раньше — состояние, которое можно рассматривать, как растяжение по сравнению с нейтральным состоянием. Наоборот, остальные четыре стенки находятся под давлением.

Наличие сдвигающих напряжений можно вывести из этого примера на основании соображений равновесия, но полезно рассмотреть сдвиг, исходя из первичных принципов. Рассмотрим единичную трубку, которая пересекает поверхность S, ограничивающую объём V, под углом, отличным от 90°. Перенос количества движения через эту поверхность в объём V имеет и нормальную и касательную к S составляющие, так что существуют нормальная и касательная силы, действующие на S. Из соображений симметрии легко показать, что направление касательной силы совпадает с проекцией части трубки, внешней по отношению к V, на S. Эта сила имеет то же самое происхождение, что и вихревая вязкость в теории турбулентности, но отличается от неё, потому что отсутствие вязкости позволяет касательной силе существовать неопределённо долго. Таким образом, истинная прочность на сдвиг является результатом вихревого движения.

В нейтральном состоянии сдвигающие усилия, действующие на поверхность от многих трубок, взаимно уничтожаются, но в напряжённых состояниях это не всегда так. На рис. 1 представлены несколько трубок в элементе объёма: а) в нейтральном состоянии, б) в состоянии растяжения нормального к поверхности и в) при растяжении вращением.

Рис. 1. Элемент объёма, показанный символически:

а — в нейтральном состоянии; Ь —деформированный при растяжении, нормальном к поверхности и с — деформированный при растяжении и повёрнутый

Очевидно, что в случае в имеется результирующая сдвигающая сила вправо, действующая на среду ниже S. Для такого действия необходима как деформация, так и вращение от нормального положения; в случае а вращение не произведёт сдвига вследствие изотропии.

Деформации, которые мы здесь рассмотрим, достаточно малы, так что при разложении в ряд функций напряжения нам понадобятся только первые члены деформации, и мы считаем справедливым закон Гука. Ради простоты, мы пренебрегаем изменениями массовой плотности, которые могут быть результатом растяжения пустотелых вихревых сердечников и изменениями плотности трубок (длины трубки на единицу объёма). Эти условия требуют, чтобы расходимость смещений среды была равна нулю.

Наличие обычных соотношений напряжение — деформация позволяет воспользоваться некоторыми результатами теории упругости. Для упругой среды со смещением D, для которого расходимость div D равна нулю.

G curl curl

D

+ρ

∂²D

∂t²

=0,

(1)

где G и ρ, соответственно48a, — модуль сдвига и плотность.