Страница 3

Модели непредсказуемости

Можно показать, что непредсказуемость возникает уже тогда, когда мы имеем дело с системами, которые кажутся очень простыми. Для этого воспользуемся широко известной NK-моделью, предложенной биологом и специалистом по сложным системам Стюартом Кауффманом[4]. Он использовал эту модель для исследования эпистатического взаимодействия (или, выражаясь проще, взаимного влияния) в генных системах, но позже она получила широкое распространение и в других областях, в частности, при исследовании динамики организаций.

Рассмотрим систему из N объектов. Каждый объект может принимать два значения: 0 – если он «выключен» и Fi – если он «включен» (здесь i – номер объекта, а Fi – любое число в интервале от 0 до 1). Через K обозначим количество объектов, которые могут влиять на i-тый объект, очевидно, что максимальное значение K=N-1. Введем понятие «приспособленности» системы, которое определяет ее эффективность при выполнении некой задачи и вычисляется как среднее значение всех входящих в нее объектов:

Будем считать, что целью системы является максимальное увеличение ее приспособленности. Ее начальная конфигурация (т.е. состояние всех объектов – включен или выключен) задается случайным образом. На каждом шаге система может изменять значение только одного из входящих в нее объектов («включать» или «выключать» его). При этом всегда выбирается такое изменение, которое максимально увеличивает приспособленность. Второе ограничение – система может предсказывать и анализировать последствия только планируемого шага, результаты всех последующих действий она оценить не может (так называемый локальный поиск или стратегия инкрементальной адаптации).

Теперь проведем три эксперимента. Эксперимент первый – пусть наша система состоит из трех объектов, которые не влияют друг на друга, т.е. N=3 и K=0. Различные конфигурации системы, значения отдельных объектов Fi, присвоенные случайно, и приспособленность системы приведены в таблице, размещенной справа на рисунке 1.1. Можно сказать, что значения приспособленности для различных конфигураций системы образуют некий ландшафт, который показан в левой части этого же рисунка. Вершины куба представляют различные конфигурации, им соответствуют различные значения приспособленности. Легко заметить, что ландшафт имеет один глобальный максимум в точке (1,1,1). Из какого бы состояния система не начинала поиск оптимальной конфигурации, данная точка обязательно будет найдена. В качестве примера на рисунке голубыми линиями показана траектория движения из точки (0,0,0).

Теперь проведем второй эксперимент при условии, что все объекты влияют друг на друга, т.е. N=3 и K=2. Предположим, что влияние объектов друг на друга описывается функцией Гаусса. В принципе, на формулы, которые приводятся ниже, можно не обращать внимания. Главное, что следует уяснить, что в данном случае мы знаем, какие законы действуют внутри системы. Теперь новое значение объекта вычисляется по формуле

То есть к собственному значению объекта теперь добавляется значение функции Гаусса

от сумы значений двух других объектов. Эта функция имеет максимум, когда ее аргумент (т.е. сумма значений двух объектов, влияющих на рассматриваемый) равен μ, чем больше значение аргумента отклоняется от μ, тем меньше значение функции. Собственные значения объектов те же, что и в предыдущем случае, вычисленные на их основе значения приспособленности при μ=0,6 и σ=0,3 приведены в таблице на рисунке 1.2.