Страница 152

К -— безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая процентная ставка

(в пересчете на год) для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения,равным сроку истечения опциона))

Г—промежуток времени до срока истечения опциона в годах

а— риск подлежащей акции, измеряемый стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент (в расчете на год)

1п—натуральный логарифм

е — основание натурального логарифма (приблизительно 2,71828)

М(а) — вероятность того, что значение нормально распределенной переменной меньше /

"По «опросам, связанным с развитием биномиальной модели, см. Сох, Лож$, ат1 КиЫпЛет, "Ор1юп Рпсту А ЗтрН^еЛ АрргоасН ", Лита! о/ Ппапсю! есопопчс!, 7 (1979), 229-263.

12 РксНег В1ас1с, ап(1 А/угоп ИсШез, "ТНе рпст^ о/ ОрИом апй ОЛег Согрога1е ЫаЫИИе5 ", Лита1 о/РоПНса! Есопоту, 81 (Мау/Лпе 1973).

13 Непрерывно начисляемая ставка доходности равна натуральному логарифму (1+ ставка доходности).

Выражение для стоимости опциона "пут" можно получить, произведя подстановку величины С из уравнения паритета опционов "пут" и "коля", т.е. воспользовавшись соотношением Р = С - 8 + Ее'^. В результате получаем формулу для нахождения стоимости опциона "пут":

При выводе своего уравнения Блэк и Шоулзпредположили, чтоДо даты истечения опциона выплата дивидендов не производится. Мертон обобщил эту модель, добавив к ней возможность получения постоянного дивидендного дохода,' №14 В результат^ была получена формула для оценки стоимости опциона с учетом дивидендов:

(15.5)

Обратите внимание на тот факт, что ожидаемая доходность акций в выражении для оценки стоимости опциона в явном виде не фигурирует. Ее влияние осуществляется через изменение курса акций. Любые изменения в ожиданиях Относительно будущего курса акций или ожидаемой доходности от инвестиций в акции будут приводить к изменению курса акций и, таким образом, к изменению стоимости опциона "колл". Однако при любом заданном курсе акций цену опциона можно определить и не зная ожидаемой доходности акций. Финансовые аналитики, спорящие по поводу ожидаемой доходности акций, вполне могут, исходя из складывающегося курса акций, прийти к единому мнению относительно цены опциона.

В реальной ситуации ни изменчивость (о), ни дивидендная доходность акции (а) не известны с полной определенностью, и опыт свидетельствует о том, что обе эти величины подвержены случайным изменениям с течением времени. На практике используются специально разработанные модели, учитывающие вероятностный характер этих переменных. Расчет с использованием формулы оценки стоимости опциона с корректировкой по выплате дивидендов, выраженной уравнением 15.5, легко проводится с применением электронных таблиц. Один из примеров таких расчетов включен в качестве приложения к этому учебнику.

Для удобства представим информацию в виде таблицы, подобно тому, как это сделано при расчете приведенной стоимости в главе 4; Предположим, например, что мы хотим рассчитать стоимость опционов "колл" и "пут" сроком на шесть месяцев с ценой исполнения 100 долл., для которых курс подлежащих акций равен 100 долл., дивидендная доходность составляет 3% годовых, а изменчивость курса акций равна 0,20. Безрисковая ставка равна 8% годовых. Исходные и выходные данные программы оценки стоимости опционов представлены в табл. 15.7.

Таблица 15.7. Таблица расчета стоимости опциона

S

E

R

T

d



Результаты

100

100

0,08

0,5

0,03

0,2

С=6,79 долл.

Р=4,35 долл.

v " КоЬеП С. МеНоп, "ТНеогу о/КаНопа! ОрНоп Рпст^", Ве11Лита1 о/ Мапаутеп! 8с1епсе, 4 (Зрппе 1973).

В табл. 15.8 кратко охарактеризовано влияниешести исходных параметров на цены опционов "колл" и опционов "пут", всоответствии с уравнением 15.5.

Эта таблица интерпретируется следующим образом.

• Увеличение курса подлежащих акций приводит к росту цен на опционы "колл" и снижению цен на опционы "пут".

• Увеличение цены исполнения приводит к снижению цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут".

• Усиление изменчивости курса акций приводит к росту цен как на опционы "колл", так и на опционы "пут".

• Увеличение промежутка времени до даты истечения опциона приводит к росту цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут"15.

• Увеличение процентной ставки приводит к росту цен на опционы "колл" и снижению цен на опционы "пут".

• Увеличение дивидендной доходности приводит к снижению цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут".

В частном случае, когда курс акций, лежащих в основе опциона, равен приведенному значению цены "страйк" (т.е.

), для расчета цен опционов можно использовать удобную приближенную формулу

Такое приближение справедливо и для цены опционов "пут". Таким образом, если курс акций равен 100, цена "страйк" равна 108,33 долл., срок истечения составляет один год, безрисковая процентная ставка составляет 8%, выплаты по дивидендам равны нулю, а изменчивость курса равняется 0,20, приблизительная стоимость как опциона "колл", так и опциона "пут" равна 0,08 цены акций, или 8 долл16.