Страница 38

И завершает изучение темы

4) Итоговая тематическая аттестация.

Формы ее проведения такие же, как и при проведении промежуточной аттестации.

Подобная система оценивания знаний способствует реализации индивидуального подхода в обучении, повышению эффективности учебно-воспитательного процесса.

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА

К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ ФУНКЦИЙ

В.В. Корольский

Кривой Рог, Криворожский государственный педагогический университет

Рассматриваем функцию f( x), непрерывную на промежутке [ a, b] и дифференцируемую в точках x ] a, b[. Представим [ a,  b] как сумму элементарных частей вида [( n -1) α, nα]:

[ a, b] = , (1)

где: n, k N; α=.

На каждом промежутке [( n -1) α, nα] f( x) удовлетворяет условиям известной теоремы Лагранжа. Следовательно, можно записать:

(2)

Если подобрать αтак, чтобы вычисление значений функций f( a), f( a+ α), f( a+ 2 α), ..., f( a+ ( k– 1) α) сводилось к минимуму самых элементарных операций, то на основании равенств (2) получаем достаточно простую схему приближенных вычислений f( x) для x ] a+ ( n– 1) α; nα[, :

(3)

В результате приходим к интерполяционному многочлену с равностоящими узлами интерполяции и шагом интерполяции α:

(4)

Поскольку рассматривается задача приближенного вычисления отдельных значений функции f( x), то для практических целей более целесообразно пользоваться формулой:

(5)

Выбор αзависит от вида функции f( x) и необходимой точности вычислений ее приближенных значений. Как правило, αвыбирается кратным 2, 5 или 10, но возможны и другие варианты. Для x = a + nαимеем

f( x) = f( a + nα), где n= 0, 1, ..., k.

Рассмотрим в качестве примера применение формулы (5) для приближенных вычислений функций f( x) = ax( a >0 ; a ≠1) и f( x) = ех .

Полагаем, что x [0; ∞[. Тогда имеем:

(6)

где α =1/ l, l =1, 2, 4, ... и т.п.

Запишем (6) в следующем виде:

, (7)

где множители и унифицируются:

и т.д.

Значение . Например, l =1 и l =2 соответственно имеем:

, (8)

. (9)

Если вычисления выполняются при значениях x N, то формулы (8) и (9) имеют достаточно простой вид:

.

В тех случаях, когда x R / N, важно то, что вычисления выполняются только с натуральными показателями и унифицированными множителями:

aα–1 = a– 1; , и т.д. (если в этом есть необходимость в смысле достижения более высокой точности результатов вычисления); является дробной частью числа и практически вычислений не требует.

Сходимость метода очевидна:

.

В таблице 1 приведены результаты вычисления значений функции ex при различных величинах lи для сопоставления приведены некоторые данные по значениям функции ex из таблицы Брадиса.

Таблица 1

ex

Табличное значение

Вычисления по формуле (7), α =1/ l

l=1

l=2

l=4

l=8

l=16

e 0,45

1,5683

1,7732

1,5838