Страница 42

Література:

Пойа Д. Как решать задачу: Пер. с англ. – М.: Учпедгиз, 1959. – 208 с.

Мошковська Г.К. Головна теорема геометрії // Нова педагогічна думка. – 1999. – №4. – С. 121–125.

Розв’язування задач з параметрами

з Використанням програми gran1

Т.Г. Крамаренко

м. Кривий Ріг, Жовтневий ліцей

Математика є унікальним засобом формування не тільки освітнього, а й розвиваючого та інтелектуального потенціалу особистості. Використання комп’ютера, зокрема програми GRAN1, на уроках алгебри допомагає у вирішенні дидактичних завдань та активізує дію мотиваційних чинників у створенні позитивного ставлення до навчання [1].

Розглянемо приклади застосування GRAN1 при вивченні теми “Розв’язування задач з параметрами”.

Параметр має двоїсту природу – з одного боку це фіксоване, але невідоме число, а з другого боку – змінна, оскільки розглядаємо задачу для всіх можливих значень параметра. Це і обумовлює два основні методи розв’язання – аналітичний та графічний, з побудовою графічного образу на координатній площині ( x; y) чи на площині ( x; а). Графічний метод перетворює процес розв’язування з формально-арифметичного в наочно-геометричний.

Щоб знайти при яких значеннях арівняння х 2–2 ах+а+1=0 і х 2 +ах–а–1=0 мають хоча б один спільний корінь, користуються, як правило, аналітичним методом. З використанням GRAN1 задачу нескладно розв’язати графічно. Для цього будуємо в одній системі координат графічні образи рівнянь, відкладаючи по осі абсцис значення змінної, по осі ординат – значення параметра. Скориставшись послугою “Координати точки”, знаходимо ординати точок перетину: –1; 2;  –0,67. При таких значеннях параметра рівняння мають спільний корінь.

Передбачимо, використовуючи GRAN1, кількість розгалужень в процесі розв’язання рівняння х 4–2 ах 2– х+а 2– а=0 та число розв’язків для кожного значення параметра а. Аналізуючи графічний образ можна встановити, що для а<–0,25 коренів нема; для –0,25< а<0,75 коренів два, для а>0,75 коренів чотири, для а=–0,25 – один, для а=0,75 – три. Самі ж корені можна знайти лише наближено. Аналітичним методом рівняння розв’язують через параметр.

Для розв’язування нерівності х 2( х 2–2 а)+4 а< х 2(4– а) традиційно використовують аналітичний метод. Спробуємо здійснити передбачення розв’язків з використанням GRAN1. Перетворюємо нерівність до виду G( x, y)>0, будуємо графічний образ рівняння G( x, y)=0 і використовуємо послугу “Розв’язати нерівність G( x,  y)>0”.

По осі абсцис відкладаємо значення параметра а, по осі ординат – змінної х. Щоб переконатися, яку саме криву побудовано, додатково будуємо в цій же системі координат графік функції . Криві співпадають (рис. 1). Проводимо прямі, перпендикулярні параметричній осі, записуємо розв’язки нерівності. Якщо а<0, x(–2; 2); 0≤ а<4, то х(–2; –√ а)U(√ а; 2); якщо а=4, то нема розв’язків; якщо а>4, то х(–√ а; –2)U(2; √ а).

Ще одна нерівність. При яких значеннях параметра анерівність a·4 x –4·2 x +3 a+1≥0 виконується для всіх х? Будуємо з використанням GRAN1 геометричне місце точок (рис. 2), що задовольняють нерівність. По осі ординат відкладаємо параметр а, знаходимо максимум а=1. При a≥1 нерівність виконується для всіх х.

Щоб розв’язати без використання GRAN1, перетворюють нерівність. Задача знову звелась до знаходження найбільшого значення функції. Для отримання розв’язків використовують похідну.