Страница 123

194

ПАРАДОКСЫ СЕМАНТИЧЕСКИЕ Развитие современных логических методов привело к новым логическим парадоксам. Напр., Брауэр указал на следующий парадокс классического существования: в любой достаточно сильной классической теории имеется доказуемая формула вида ЗхА(х), для которой нельзя построить никакого конкретного t, такого, что доказуемо A(t). В частности, нельзя построить в теории множеств ни одной нестандартной модели действительных чисел, хотя можно доказать, существование таких моделей. Этот парадокс показывает, что понятия существования и возможности построения необратимо расходятся в классической математике. Далее, нестандартные модели, которые потребовали явного различения языка и метаязыка, привели к следующему парадоксу: «Множество всех стандартных действительных чисел является частью нестандартного конечного множества. Т. о., бесконечное может быть частью конечного». Этот парадокс резко противоречит обыденному пониманию соотношения конечного и бесконечного. Он основан на том, что свойство «быть стандартным» принадлежит метаязыку, но может быть точно интерпретировано в нестандартной модели. Поэтому в нестандартной модели можно говорить об истинности и ложности любых математических утверждений, включающих понятие «быть (не)стандартным», но для них не обязаны сохраняться свойства стандартной модели, за исключением логических тавтологий. Данный парадокс стал основой теории полумножеств, в которой классы могут быть подклассами множеств. И наконец, последний класс логических парадоксов возникает на границах между формализованными и неформали- зуемыми понятиями. Рассмотрим один из них (аргумент Саймона): «Все, что может быть выражено точно, может быть выражено на языке машин Тьюринга. Поэтому в гуманитарных науках могут рассматриваться лишь те модели, которые выразимы на языке машин Тьюринга. Более того, согласно методу диагонализации, любое точное возражение против данной точки зрения само переводится на язык машин Тьюринга и включается в нее». Этот парадокс стимулировал появление теории неформали- зуемых понятий, но ввиду того, что он не был сразу осознан как парадокс, заодно привел к печальным последствиям, поскольку этот софизм, в котором спутаны принципиальная выразимость (требующая нереальных ресурсов) и реальные описания, был воспринят как точное рассуждение и, как отмечено в трудах по когнитивной науке, парализовал почти на 10 лет западную психологию. Отрицание аргумента Саймона после осознания его софистической природы было построено так, что привело к полному отказу от точных понятий и тем самым по существу послужило мотивом для течений типа постмодернизма. В данном случае была допущена логическая ошибка подмены противоречащего суждения противоположным. Я. Н. Непейвода

ПАРАДОКСЫ СЕМАНТИЧЕСКИЕ - парадоксы, формулировка которых зависит от семантических понятий истины, обозначения и т. п. Семантические же понятия выражают отношения между выражениями языка и объектами, к которым они относятся. Логический анализ семантических парадоксов, как показал Л, Тарский, возможен лишь в языках с точно установленной структурой, которыми являются различные формализованные языки дедуктивной логики. В этих языках выделяются множества правильно построенных выражений (термов и формул), определяются правила вывода, доказуемость выражений, являющихся высказываниями. Построенные формальные языки называются языками- объектами, а языки, в которых изучаются языки-объекты, называются метаязыками. Языки, в которых семантические понятия, напр, предикат истинности, применимы к самим выражениям этого языка, называются семантически замкнутыми языками. Как показал А. Тарский, источником парадоксов является семантическая замкнутость языков (очевидно, что естественные языки являются семантически замкнутыми). Примером семантического парадокса является парадокс «Лжец», сформулированный древнегреческим философом мегарской школы Эвбули- дом: «Один критянин сказал, что все критяне лжецы». В др. формулировке этот парадокс выражается следующим образом: «Если лгущий говорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду». Как показал А. Тарский, если сделать метаязык более богатым, чем язык-объект, и включить переводы выражений языка-объекта в метаязык, то парадокс «Лжец» устраняется. В самом деле, пусть язык семантически замкнут, тогда имеются следующие допущения: (1) имеем условия адекватности высказывания X и соответствующего ему «положения дел» р: X — истинное высказывание, если и только если р. Фактически (1) согласуется с аристотелевской концепцией истины. (2) Рассмотрим высказывание: С является неистинным высказыванием. (3) Используя смысл символа «С», установим эмпирически, что (а) «С является неистинным высказыванием» тождественно с «С». Используя допущение ( 1 ) получаем (?) «С является неистинным высказыванием» есть истинное высказывание, если и только если С является неистинным высказыванием. Посылки (а) и (?) порождают противоречие: С является истинным высказыванием, если и только если С является неистинным высказыванием. Источник противоречия — замена в (1) символа р на выражение, частью которого является «истинное высказывание». Оригинальный подход к анализу семантических парадоксов предложил Д. А. Бонвар (и независимо от него шведский логик С. Холден). Согласно Д. А. Бочвару, для анализа парадоксов надоиспользоватьтрехзначнуюлогикусдвумятипамисвязок— внутренними с истинностными значениями «бессмысленно», «истинно» и «ложно» и внешними — только с истинностными значениями «истинно» и «ложно». В логике Д. А. Бочвара определима одноместная внешняя «утверждение бессмысленности». Анализ парадокса состоит в доказательстве бессмысленности парадоксальной формулы, т. е. утверждения, что данная формула бессмысленна. Д. А. Бочвар построил анализ семантического парадокса гетерологичности (в формулировке Г. Вейля). Гетерологичность символа Z выражается предикатом H(Z), который определяется посредством формулы 3(p(R(Z, ф) & ~ (p(Z)), где 3, &, квантор существования, конъюнкция и отрицание, соответственно, R(Z, ф) означает, что «Z обозначает ф», область значений переменной Z есть множество символов, обозначающих свойства, а область значений р — множество самих свойств. Пусть символ «Н» обозначает только предикат Н, т. е. имеют место R («Н», Н) и R («Н», Н): зф = Н. Парадокс гетерологичности выражается формулой X ЧН(«Н») => ~ Н(«Н»)& ~ Н(«Н») э Н(«Н»)).

195