Страница 117

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ- см. Логика предика- тов.

ИСЧИСЛЕНИЕ СЕКВЕНЦИЙ- одна из основных форм представления логических систем, применяемая в логике наряду с аксиоматическими системами (гильбертовского типа) и системами натурального (естественного) вывода. Термин «секвенция» происходит от слова sequent (последовательность). Он введен в логику П. Герцем (1929) и заимствован Г. Генценом, который впервые сформулировал в форме исчисления секвенций классическую и интуиционистскую логику предикатов первого порядка. Секвенция — это формальная запись отношения логической выводимости вида Г—>®, где Г и 0 — последовательности (возможно пустые) разделенных запятыми формул. Вместо стрелки может использоваться «h-» или любой другой знак логической выводимости. Левую часть секвенции называют антецедентом, а правую — сукцедентом. Содержательно в исходном генценовском варианте секвенция означает, что из конъюнкции формул, входящих в ее антецедент, логически выводима дизъюнкция формул, входящих в ее сук- цедент. Напр.: А,,...,Ап, —> В,,..., Вт означает А,& ... & & Ап I- B,v ... vBm; —>В,,.... Bm, означает i- Bfv ... vBm; A,,..., An —> означает i--,(A1&...&&An); a секвенция, обе части которой пусты, может интерпретироваться как логическое противоречие.

184

ИТАИ Исчисление секвенций состоит из двух главных компонентов: основной секвенции и правил заключения (иногда их называют правилами вывода). Основная секвенция в первоначальном генценовском варианте — это секвенция вида А—>А, где А — формула, но могут применяться основные секвенции и другого вида. Правила заключения делятся на два типа: логические и структурные. Логические правила заключения в свою очередь делятся на правила введения логического знака в антецедент и правила введения логического знака в сукцедент секвенции. По логическому правилу из формул, входящих в его посылки (боковых формул), в заключении с помощью введения логического знака получается более сложная формула (главная формула). Таким образом, логические правила позволяют строить сложные формулы из более простых. Число логических правил в исчислении секвенций определяется числом используемых в данном исчислении логических констант. Структурные правила (перестановка, сокращение и утончение) влияют не на структуру отдельных формул, а на структуру секвенций. В результате применения этих правил вхождения формул в антецедент или сукцедент секвенции переставляются, сокращаются или добавляются. Логические и структурные правила заключения для классической и интуиционистской логик симметричны в том смысле, что каждому антецедентному (сукцедентному) правилу соответствует в точности одно сукцедентное (антецедентное) правило. Особую роль в исчислении секвенций играет правило, называемое «сечением»: Г— QA А.А—У Г,Д—0,? Это единственное правило, в результате применения которого формула сечения (в данном случае А) вычеркивается из вывода. Все остальные правила сохраняют так называемое свойство подформульности вывода: все формулы, входящие в посылки конкретного правила, являются подформулами некоторых формул, входящих в заключение этого правила. Вывод в исчислении секвенций имеет форму дерева секвенций, построение которого начинается с основной секвенции (основных секвенций) и продолжается по правилам заключения. Секвенция считается выводимой в исчислении секвенций, если можно построить вывод, в котором она является последней (конечной) секвенцией. Строго говоря, деревья в исчислении секвенций являются не выводами в стандартном смысле термина «логический вывод», а метаконструкциями, при построении которых выполняются логические переходы от одних записей о выводимости к другим. Интерпретация секвенций при этом может быть различной, что открывает широкие возможности для исследования общих свойств формальных логических доказательств. С исчислением секвенций связан полученный Г. Генценом фундаментальный результат современной логики — теорема об устранении сечения, или элиминационная теорема. В доказательстве этой теоремы Г. Генцен заменяет сечение правилом смешения: Г->0А А.А-ИР где А* и 0* не содержат формулы А, и показывает, что из любого вывода в исчислении секвенций классической и интуиционистской первопорядковой логики можно устранить все применения этого правила Существует множество модификации первоначального генце- новского варианта исчисления секвенций для классической и неклассических логик. Методологически эти модификации сводятся к тому, что изменяется форма или/и число основных секвенций, форма или/и число правил заключения или/и вводятся ограничения на применения конкретных правил заключения при построении дерева вывода. Иногда изменяется само понятие секвенции и используются такие объекты, как«надсеквенции», «кортежи секвенций», «структуры» и т. д. Достаточно прозрачен и эффективен подход к формулировке исчисления, при котором правилам заключения придается «глобальный» характер — их применение зависит не только от вида посылок, но и от состояния выводов этих посылок. Такие правила, в частности, расширяют возможности доказательства теоремы об устранении сечения для неклассических логик. Исчисления секвенций тесно связаны с табличными представлениями логических систем и обеспечивают естественный переход между синтаксическим и семантическим уровнями анализа неклассических логик. Они являются удобным аппаратом исследования количественных и качественных характеристик логических выводов и процедур поиска логических доказательств. Лет.: Математическая теория логического вывода. М, 1969. П. И. Быстрое

ИТАЙ(кит. — эфир) — категория, которой оперировали китайские мыслители кон. 19 — нач. 20 в. Заимствованное из европейских естественных наук и философии, в Китае это понятие претерпело существенные изменения. Кан Ювэй трактовал «итай» как этическое начало, «гуманность» (жэнь) и «сострадание» (бу жэнь). Сунь Ятсен видел в итае творящий хаос, который «в своем движении порождает электроны; электроны, сгущаясь, создают элементы; элементы, соединяясь, создают материю; материя, собираясь воедино, создает планету». В системе идей Тань Сытуна итай — основополагающее понятие, не имеющее четких дефиниций и раскрываемое через множество близких, но не тождественных характеристик. Важнейшие его атрибуты — вечность и несотворенность. Сфера его распространения не имеет предела: итай существует в микро- и макромирах, в явлениях реальной жизни и в над-мировом абсолюте — «едином первоначале» (и юань). Итай многофункционален, он одного порядка с «чувством», «разумом» и понятием «дянь» (момент наивысшего напряжения сил инь ян, переводится также как «электрон», «электричество»). Итай — это импульс развития и реальная основа мира; из него «рождаются миры, возникает пустота и появляется все живое». Он выступает как условие единства мира, некий наполнитель, «склеивающий» отдельные явления: «Итай, все склеивая, [приводя] в соответствие, связывая, наполняет [собой] отдельные вещи». Он удерживает все предметы и явления в равновесии, препятствует не только их распаду, но и слиянию. Его действие распространяется и на общество, и на космические явления, и на тело человека. Тань Сытун тем не менее не наделял итай свойствами первоначала. Если итай разлит повсюду и условно его можно изобразить в виде лишенной иерархичности субстанции, то «единое первоначало» предполагает иерархию, которую оно же и венчает. Через «единое первоначало» итай соотносится со своим коррелятом — «гуманностью». Все характеристики итая распространяются на «гуманность», приобретая этическую