Страница 60

102

АНАЛОГИЯ Fs:{S,F{AvB)} {S, FA, FB} T^AS,UAz>B)} Ib:{S,F{Az>B)} T-,: {S, T^A} '{S, FA), {S, ТВ] {S, TA, FB} {S, FA} F-,: {S, F-Л} {S, TA} ; 2) для интуиционистской пропозициональной логики те же, кроме 7Ь, Fb, Г-п, F-i, которые заменяются на: 7Ь:{? ТА^В)} Fd:{S,F(A^B)} {S, 7Az>B), FA}, {S, 7Az>B), TB} {Sr TA, FB} 7Ц: {5, Г^А} F^: {S, F-Л} {S,T^A,FA} {SpTA} , где ST - результат исключения из S всех формул вида FB. 3) для 54 - те же, что в 1) с добавлением TU : {S, TuA) /fa: {S, FoA] {S, TuA, TA} {SD,FA} , где S0 - результат исключения из S всех формул, не имеющих вида Т в В. 4) для классической и интуиционистской логики предикатов те же, что в 1) и 2) соответственно, с добавлением: W.{S,T/xA(x)} /У: {S, FVxAjx)} 73: {S, T3xA(x)} {S, 7Vx4(x), TA(a)} {S, FA{b)} {S, TA(b)} F3: {S, F3xA(x)} {S, F3xA(x), FA(a)}, где а - основная произвольная предметная постоянная константа, b — вспомогательная постоянная, каждый раз новая (не встречавшаяся в исходном множестве), А(а) (А(Ь)) - результат их подстановки вместо х в формулу А(х). ^-множество называется замкнутым, если и только если в нем имеются ТВ и FB для какой-нибудь формулы В языка соответствующей системы. Г/'-множество называется исчерпанным, если и только если оно замкнуто или никакое применение правил к нему не приводит к новой конфигурации. Т. о., аналитической таблицей некоторой формулы А называется непустая конечная последовательность конфигураций, первая из которых есть {{FA }}, а каждая из последующих конфигураций получается из предыдущей по одному из правил. Аналитическая таблица называется завершенной, если и только если каждое Г/'-множество ее последней конфигурации является исчерпанным. Неразрешимость исчисления предикатов относительно проблемы общезначимости и доказуемости равносильна неразрешимости вопроса о существовании завершенной аналитической таблицы для произвольной формулы ее языка. Таблица является замкнутой, если и только если каждое TF-множество ее последней конфигурации является замкнутым. Формула А языка любой из рассматриваемых систем общезначима ( для классической пропозициональной логики — тождественно-истинна), если и только если для нее существует замкнутая таблица. (Последнее оказывается существенным при построении аналитических таблиц для формул интуиционистской и модальной логики, т. к. варьирование порядка применения правил может привести к построению различных таблиц для одной и той же формулы.) Для классической логики завершенная незамкнутая таблица указывает возможные элементарные условия ее ложности (опровергающие примеры). Ими являются незамкнуты исчерпанные множества последней конфигурации. Примеры: 1) Формула ((D/7 V uq) z) ?(/? V q)) системы S4 общезначима, поскольку для нее существует замкнутая аналитическая таблица: l.{{F((npvnq)z>n{pvq))}}; 2.{{Tnpvnq),FD{pvq)}}; 3. {{1Ър, FU(p v ф), {Tuq, Fu(p v q)}}; 4. {{7U/?, F(pwq)}? Tuq, F(pvq)}}; 5. {{Tnp, Fp, Fq}, {Tuq, Fp, Fq}} 6. {{Tnp, Tp, Fp, Fq},{Tuq, Tq, Fp, Fq}}. 2) Аналитическая таблица для формулы интуиционистской логикир v -п/>: 1. {{F(pv^p)}}; 2. {{Fp, F^p}}; 3. {{Тр}} не является замкнутой, и невозможно изменением порядка применения правил получить другую таблицу этой формулы, следовательно, данная формула не является законом интуиционистской логики. Для классической логики имеется непосредственная связь между способом построения А.т. для некоторой формулы и доказательством ее в некотором секвенциальном исчислении (см. Исчисление секвенций), получаемом переформулировкой правил построения таблицы. Аналитическая таблица классической формулы А в виде дерева (множества столбцов) также может быть получена перестройкой ее таблицы, представленной в виде последовательности конфигураций. Возможность применения метода аналитических таблиц для решения задач как семантического (теоретико-модельного), так и формально-дедуктивного (теоретико-доказательственного) характера позволяет выявить гносеологически весьма важное обстоятельство, состоящее в том, что основу дедукции составляют некоторые отношения содержательно-семантического характера. Очевидны также широкие эвристические возможности этого метода для поиска и построения выводов и доказательств. Лит.: Fitting M. С. Intuitionistic Logic Model Theory and Forcing, Amst.-L., 1969; Кангер. С. Упрощенный метод доказательства для элементарной логики. - В кн.: Математическая теория вывода. М., 1967. Костюк В. Н. Логика. Киев-Одесса, 1975; Смирнова Е. Д Упрощение бетовско- хинтикковского доказательства полноты исчисления предикатов первого порядка. - В кн.: VII Всесоюзный симпозиум по логике и методологии науки. Тезисы. Киев, 1976. Е.К.Войшвилло

АНАЛОГИЯ(греч. ovaXoyia — соразмерность, пропорция) — отношение сходства между объектами; рассуждение по аналогии - вывод о свойствах одного объекта по его сходству с другими объектами. Общие схемы рассуждений по аналогии: объект a обладает свойствами АпА2,..., Ап, А^ объект ? обладает АГА^,...,А; " (I) вероятно, что ? обладает свойством Ап+Х объекты а, ар а2,... ап обладают свойством А, вероятно, что an+1 обладает свойством А. Идея «переноса» свойств с одного объекта на другой восходит к античности. Термин «аналогия» использовался