Страница 135

  Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.

  А. Н. Колмогоров.

Дифференциал (технич.)

Дифференциа'л,дифференциальный механизм в приводе ведущих колёс автомобиля, трактора или др. транспортных машин. Д. обеспечивает вращение ведущих колёс с разными относительными скоростями при прохождении кривых участков пути.

Дифференциальная геометрия

Дифференциа'льная геоме'трия, раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа. Главными объектами Д. г. являются произвольные достаточно гладкие кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства линий и поверхностей. Обычно в Д. г. исследуются локальные свойства геометрических образов, которые присущи сколь угодно малой их части. Рассматриваются также и свойства геометрических образов в целом (например, свойства замкнутых выпуклых поверхностей).

  Геометрические объекты, изучаемые в Д. г., обычно подчинены некоторым требованиям гладкости. Как правило, эти требования выражаются в том, что функции, задающие указанные объекты, не менее двух раз непрерывно дифференцируемы.

  Сущность методов Д. г., применяемых для выяснения локальных свойств геометрических объектов, проще всего уяснить на примере локального исследования формы кривых.

  В каждой точке М достаточно гладкой кривой L можно построить касательную прямую МТ и соприкасающуюся плоскость p (рис. 1). При этом касательная МТ является пределом секущей MN при неограниченном приближении точки N к М по кривой L, а соприкасающаяся плоскость есть предел переменной плоскости, проходящей через касательную МТ и точку N при приближении N к М по L. Касательную МТ можно рассматривать также как прямую, наиболее тесно прилегающую к L вблизи точки М. Соприкасающаяся же плоскость представляет собой плоскость, наиболее тесно прилегающую к L вблизи М.

  Для геометрической характеристики искривлённости кривой L вблизи данной точки М рассматривается соприкасающаяся окружность, представляющая собой окружность, проходящую через М и наиболее тесно прилегающую к L вблизи М. Это свойство выражается в том, что если учитывать величины только 1-го и 2-го порядка малости по сравнению с длиной дуги MN, то участок кривой L вблизи М можно считать дугой соприкасающейся окружности. Соприкасающаяся окружность касается L в точке М и расположена в соприкасающейся плоскости. Её центр называется центром кривизны кривой L в точке М, а радиус — радиусом кривизны L в М.

  Для численной характеристики искривлённости L в точке М используется кривизнаk кривой, равная обратной величине радиуса R соприкасающейся окружности: k = 1/R. Кривизну k можно рассматривать и как меру отклонения L от касательной МТ (рис. 1):

или как скорость изменения (вращения) касательной к L (рис. 2):

где a — угол между касательными в точках М и N, а Ds — длина дуги MN.