Страница 140

Для прямолинейно движущейся точки вторая производная характеризует её ускорение.

  Аналогично определяются и производные более высокого (целого) порядка. Производная порядка n обозначается

  yn, fn (x), dny/dxn, dnf/dxn или Dnf (x).

  Дифференциал. Функция у = f (x), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х, называется дифференцируемой в точке x, если её приращение

  Dy = f (x + Dx) - f (x)

можно записать в форме

  Dу = АDх + aDх,

где А = А (x), a = a(х, x) ® 0 при х ® x. В этом и только в этом случае выражение ADx называется дифференциалом функции f (x) в точке x и обозначается dy или df (x). Геометрически дифференциал (при фиксированном значении x и меняющемся приращении Dx) изображает приращение ординаты касательной, т. е. отрезок NT (см. рис.). Дифференциал dy представляет собой функцию как от точки х, так и от приращения Dх. Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, понимая под этим, что, при фиксированном х, dy есть линейная функция от Dх и разность Dy - dy есть бесконечно малая относительно Dx. Для функции f (x) º х имеем dx = Dх, т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому обычно пишут dy = Adx. Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного переменного y = f (x) имела в точке x дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f' (x), и справедливо равенство dy = f' (x) dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y = f (x) в точке с абсциссой x как предельное положение секущей является также такой прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки x примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А (х) = f' (x); запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f' (x), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f' (x) dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.

  Рассматриваются также дифференциалы высших порядков. На практике с помощью дифференциалов часто производят приближённые вычисления значений функции, а также оценивают погрешности вычислений. Пусть, например, надо вычислить значение функции f (x) в точке х, если известны f (x) и f' (x). Заменяя приращение функции её дифференциалом, получают приближённое равенство

  f (x1) » f (x) + df (x) = f (x) + f' (x) (x1 - x).

Погрешность этого равенства приближённо равна половине второго дифференциала функции, т. е.

  1/2 d2f = 1/2 f" (x)(x1 – x)2.

  Приложения. В Д. и. устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами Д. и. К их числу относятся Ролля теорема, формула Лагранжа f (a) — f (b) = f' (c)(b — а), где a< с< b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.