Страница 11

После выделения радиальной части ФГ ключевой становится задача решения неоднородного радиального УД с широким интервалом изменения параметра ζ. Радиальное уравнение в матричном виде

Здесь χ– квантовое число Дирака. Для угловых частей известны точные аналитические выражения, в которых учтено суммирование по моментным проекциям виртуальных состояний [2]. Радиальную часть ФГ можно стандартно выразить в виде комбинации двух фундаментальных решений однородного уравнения Дирака. С помощью фундаментальных решений элементы Gij ФГ представляются в виде:

Здесь fи g– большая и малая компоненты функции Дирака, N– нормировочный множитель. Знак “~” применяется для обозначения второго фундаментального решения. Для конкретизации задачи предполагаем, что частица движется в сферически симметричном кулоновском потенциале. В таком приближении ее состояние определяется значениями главного квантового числа, полным моментом и четностью. Соответствующие биспиноры имеют стандартный вид [2]:

Здесь – шаровой спинор, g( r) и f( r) – радиальные функции Дирака, которые удовлетворяют системе уравнений:

Вид радиальных функций, естественно, зависит от вида потенциала V( r). Для регулярного при r→0 V( r), при r→∞ переходящего в чисто кулоновский, при каждом значении ζ, æсуществуют решения двух типов (см. [3] и ссылки там):

а) регулярное при r→0

æ<0 : æ>0

б) сингулярное при r→0

æ<0 æ>0

Вычислительные трудности всей задачи связаны в основном с вычислением второго фундаментального решения, для чего использован метод Иванова-Ивановой [3]. Вся вычислительная процедура сведена к решению одной системы обыкновенных ДУ (для численного интегрирования применяется схема Рунге-Кута) и реализована в виде комплекса программ (для Fоrtran Power Station 4.0) для РС Pentium II.

Литература

Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М., 1989.

Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. – М., 1979.

Ivanov L.N., Ivanova E.P., Knight L. // Phys. Rev. A. – 1993. – V.48. – P. 436.

Glushkov A.V., Ivanov L.N. // Phys. Lett. A. – 1992. – V. 170. – P. 33.

НОВІ МЕТОДИ СУЧАСНОЇ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

І ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ:

ДЕЯКІ НАУКОВІ ТА МЕТОДИЧНІ АСПЕКТИ