Страница 14

sin =1 + 2 n, nZ.

0 0 arcsin , (1)

так как функция y =arcsin xмонотонно возрастает.

Аналогично, 0 0arcsin , (2)

0 0 arcsin . (3)

Складывая неравенства одинакового смысла (1), (2), (3), получаем верное неравенство:

0 arcsin + arcsin + arcsin .

Из углов + 2 n, nZ, только один угол при n=0 = (0; ).

Значит, arcsin + arcsin + arcsin .

Удачный методический прием, позволяющий перейти от решения примера с обратными тригонометрическими функциями к решению с «обычными» тригонометрическими функциями можно проиллюстрировать на задании вида:

Вычислить tg (arcsin ).

Решение.

Пусть arcsin = , тогда sin = , ( 0;) .

Теперь задача сводится к тому, что нужно, зная sin , найти tg . По формуле для тангенса половинного угла tg = =, где cos =, так как ( 0;), cos 0. Получаем tg = tg (arcsin )=.

Обычно, такой способ решения учащиеся легко усваивают, видимо, вследствие того, что «становятся на привычную почву» – решение примера с прямыми тригонометрическими функциями, хорошо известными и многократно используемыми ими ранее.

Более сложной задачей является решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями. Здесь важно предварительно обсудить с учащимися тот факт, что если функция немонотонна, то равенство значений функции не обязательно приводит к равенству значений аргументов:

f( x) =g( x) sin( f( x)) =sin( g( x)),

т.е. все решения первого уравнения являются решениями второго уравнения, а обратное может быть неверно. Эти уравнения равносильны только на промежутках монотонности функции синуса. Аналогично и для других тригонометрических функций. Обычно, именно слабое понимание этого обстоятельства приводит к грубым ошибкам в решениях уравнений с обратными тригонометрическими функциями, так как в процессе решения таких уравнений, обычно, приходится от заданного уравнения f( x) =g( x) переходить к уравнению-следствию, например, sin( f( x))=sin( g( x)). Рассмотрим такой пример:

Решить уравнение 2arcsin x =arcsin().

Нужно решать уравнение так:

arcsin x= 0,5 arcsin() (4)

и далее получаем равносильное уравнение

sin(arcsin x)=sin(0,5 arcsin()) (5),

так как значения левой и правой части уравнения (4) принадлежат интервалу (–; ), а на этом промежутке функция синуса монотонна. Но если мы заменим данное уравнение уравнением

sin(2arcsin x)=sin(arcsin()) (6),

то получим уравнение-следствие, решение которого может содержать посторонние корни, а проверка в уравнениях с обратными тригонометрическими функциями часто весьма затруднительна.

В заключение хочется отметить, что в изложении темы «Решение примеров с обратными тригонометрическими функциями» правильный методический подход является особенно важным. Опыт показывает, что методические погрешности в изложении этой темы особенно заметны и более ощущаются, чем во многих других темах. Вероятно, это связано с большей сложностью решения таких примеров для учащихся ввиду того, что от них требуется более глубокое понимание и гибкое использование всех свойств тригонометрических функций. Это обстоятельство «роднит» эти примеры с задачами с параметрами, которые по праву считаются наиболее сложным разделом элементарной математики. В то же время хорошее знание данной темы необходимо для изучения теоретических дисциплин в техническом вузе, решения многих технических задач.