Страница 22

При формулюванні теореми Рімана в підручниках не підкреслюється той важливий момент, що перестановка членів умовно збіжного ряду повинна охоплювати нескінченнумножину його членів. Будь-які перестановки скінченогочисла членів допускаються в будь-яких рядах; вони не позначаються ні на збіжності рядів, ні на величині їх суми (у випадку збіжних рядів).

При розгляді степеневих рядів треба звернути увагу на вираз для радіуса збіжності степеневого ряду у вигляді:

.

Ця формула має місце лише для рядів “без пропусків”. Наприклад, для рядів, що містять лише послідовні парні або непарні степені x, справедлива формула

.

Це випливає з доведення формули для R. На жаль, цього застереження немає у підручниках.

Якщо програмою передбачено вивчення рядів з комплексними членами і формул Ейлера, то треба, на наш погляд, зупинитися на одному з наслідків формули

eiz=cos z+isin z.

При z=πмаємо:

eiπ+1=0.

Треба звернути увагу студентів на унікальність та красоту цього співвідношення, яке поєднує всі п’ять основних величин: 1, 0, π, eта i.

Теорія рядів та її становлення містять у собі значний світоглядний потенціал, який, на наш погляд, треба розкрити перед студентами. Становлення теорія рядів – яскравий приклад того, що суперечності (про деякі з них ми згадували) є джерелом розвитку процесу пізнання. Спроби розв’язати суперечності привели кінець кінцем до створення строгої теорії рядів, яка суттєво збагатила математику та практику. Д. Гільберт у знаменитій доповіді на другому Всесвітньому конгресі математиків відмітив, що “всяка наукова галузь життєздатна, доки в неї надмір нових проблем. Недостача нових проблем означає відмирання або припинення самостійного розвитку…”. Важливо підкреслити, що суперечність є джерелом не тільки розвитку процесу пізнання, але й об’єктивного світу. Всякий розвиток – це виникнення тих чи інших суперечностей, їх розв’язання та виникнення нових суперечностей (закон єдності та боротьби протилежностей).

Наведемо деякі конкретні приклади, які дозволяють продемонструвати перед студентами відображення в теорії рядів діалектичного закону переходу кількісних змін в якісні.

Ряд як “сума нескінченного числа доданків” є якісно нове поняття, властивості якого відрізняються від властивостей “звичайної суми”.

Відкидання скінченого числа членів ряду не змінює його природи (його збіжність або розбіжність), відкидання нескінченної множини доданків може перетворити збіжний ряд у розбіжний і навпаки.

Не змінює природи ряду перестановка скінченого числа членів ряду, але перестановка нескінченної множини членів умовно збіжного ряду може змінити його природу (теорема Рімана).

Сума скінченого числа неперервних функцій неперервна, але сума нескінченної множини неперервних функцій (функціональний ряд) може дати якісно іншу, розривну функцію (нерівномірно збіжний ряд, ряд Фур’є).