Страница 32

Поглибити рівень засвоєння розділу ДР другого порядку і теми в цілому можна за рахунок застосування знаково-символьних засобів, які розрізняються своїми характеристиками, що дозволяє формувати уміння виділяти відношення форми і змісту об’єкта.

Розглянемо приклад розв’язування завдання типового розрахунку, із використанням різних методів розв’язування диференціального рівняння та різних комп’ютерних математичних систем. Нехай рівняння (1) має вигляд:

x''( t) +3 x'( t) +5 x( t)=4sin3 t, x(0)=0, x'(0)=0 (2)

Розв’язання задачі (2) спершу здійснюється методом невизначених коефіцієнтів у відповідній послідовності з використанням пакету DERIVE. Далі студентам дається завдання для самостійної роботи: Зробити перевірку одержаного результату, скориставшись, наприклад, програмою пакета Maple:

with(DEtools):

dsolve({diff(x(t),t$2)+3*diff(x(t),t)+5*x(t)=4*sin(3*t),x(0)=0,D(x)(0)=0},x(t));

Використовуються також інші методи. Метод варіації довільних сталих доцільно реалізувати за допомогою пакету DERIVE. Метод інтегрального перетворення Лапласа у такій послідовності (система Maple):

– перший етап

знайти зображення F( p) ДР за Лапласом;

розкласти одержаний дріб F( p) на елементарні дроби;

застосувати функцію оберненого перетворення Лапласа invlaplace.

– другий етап

знайти зображення F( p) ДР за Лапласом;

розкласти одержаний дріб F( p) на елементарні дроби;

застосувати лишки до знаходження оригіналу.

Доцільно ознайомити студентів із методом інтеграла Дюамеля, оскільки вони набули до цього уміння застосовувати перетворення Лапласа і цей етап реалізує закріплення матеріалу.

Оскільки результати спостережень за вхідним сигналом є наближеними, то у типовому розрахунку передбачається використання методу апроксимації, який реалізується у такій послідовності.

а) Метод найменших квадратів.

Відомі спостереження в точках f(0)=4sin(0) =0, f(1)=4sin(3)=0.5644798, f(2)=4sin(6)=–1.1176616, f(3)=4sin(9)=1.6484734, рівняння розв’язується за умови, що вхідним впливом є функція

f( t) =P 3( t) =a 0 +a 1 t+a 2 t 2 +a 3 t 3

– інтерполяційний многочлен третього степеня. Функцію P 3( t) знаходимо за методом найменших квадратів.

б) Кусково-лінійна апроксимація.

Розв’яжемо рівняння (1), у випадку, коли вхідний сигнал задається кусково-лінійною функцією f( t) =x 4( t):

в) Наближення інтерполяційними сплайнами.

Розв’яжемо рівняння (2), у випадку, коли вхідний сигнал задається сплайн-функцією f( t)= x 3( t), тобто кубічним сплайном .