Страница 144

  Пусть, например, задано семейство кривых

  (х -С)3 - у = 0.          (9)

Дифференцируя (9) при постоянном С получают

  3(х - С)2 - у' = 0,

после же исключения С приходят к Д. у.

  27y2 - (y ')3 = 0,          (10)

равносильному уравнению (4). Легко видеть, что кроме решений (9), уравнение (10) имеет решение

  y º 0.          (11)

  Решение уравнения (10) самого общего вида таково:

где -¥ £ C1 £ C2 £ +¥ (рис. 7). Оно зависит от двух параметров C1 и C2, но составляется из кусков кривых однопараметрического семейства (9) и куска особого решения (11).

  Решение (11) уравнения (10) может служить примером особого решения Д. у. В качестве другого примера можно рассмотреть семейство прямых

  4(у - Cx) + C2= 0.          (12)

Эти прямые являются интегральными кривыми Д. у.

  4(у - ху') + (у')2 = 0.

Особой же интегральной кривой этого Д. у. служит парабола

  х2 - у = 0,

огибающая прямые (12) (рис. 8). Картина, наблюдавшаяся в рассмотренном примере, типична; особые интегральные кривые обычно являются огибающими семейства интегральных кривых, получаемых из общего решения.

  Дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений. Д. у. n-го порядка с одной неизвестной функцией у (х) независимого переменного х записывают так:

  F (х, у, y', у", ..., y(n-1), y(n)) = 0.          (13)

Если ввести дополнительные неизвестные функции

  y1 = y', y2 = y", ..., yn-1 = y (n-1),          (14)

то уравнение (13) можно заменить системой из n уравнений с n неизвестными функциями, но зато 1-го порядка. Для этого достаточно к n - 1 уравнениям (14) присоединить уравнение