Страница 145

  Большое значение имеет аналитическая теория Д. у., изучающая решения Д. у. с точки зрения теории аналитических функций, т. е. интересующаяся, например, расположением их особых точек в комплексной плоскости и т.п.

  Наряду с рассмотренной выше начальной задачей, в которой задаются значения искомых функций (а в случае уравнений старших порядков и их производных) в одной точке (при одном значении независимого переменного), находят широкое применение краевые задачи.

  Дифференциальные уравнения с частными производными. Типичной особенностью Д. у. с частными производными и систем Д. у. с частными производными является то, что для однозначного определения частного решения здесь требуется задание не значений того или иного конечного числа параметров, а некоторых функций. Например, общим решением уравнения

является выражение

  u (t, x) = f (x + t) + g (x - t),

где f и g — произвольные функции. Т. о., Д. у. (16) лишь в той мере ограничивает произвол в выборе функции двух переменных u (х, у), что её удаётся выразить через две функции f (z) и g (v) от одного переменного, которые остаются [если в дополнение к уравнению (16) не дано каких-либо «начальных» или «краевых» условий] произвольными.

  Типичной задачей с начальными условиями для системы Д. у. с частными производными 1-го порядка

где независимыми переменными являются t, x1,..., xn, а u1,..., um суть функция от этих независимых переменных, может служить задача Коши: по заданным при каком-либо t = t значениям

  ui (t, x1,..., xn) = ji (x1,..., xn),

  i = 1, 2, ..., m,

найти функции ui (t, x1, ..., xn).

  В теории Д. у. с частными производными порядка выше первого и систем Д. у. с частными производными рассматриваются как задачи типа Коши, так и ряд краевых задач.

  При постановке и решении краевых задач для Д. у. с частными производными порядка выше первого существенное значение имеет тип уравнения. В качестве примера можно привести классификацию Д. у. с частными производными 2-го порядка с одной неизвестной функцией z (х, у) от двух переменных:

  F (x, у, z, р, q, r, s, t) = 0,          (18)

где

Если

то (18) есть эллиптическое уравнение. Примером может служить уравнение Лапласа:

Если D< 0, то (18) есть гиперболическое уравнение. Примером может служить уравнение колебания струны: